فعالیت ۱ تا ۴ مدل‌سازی رشد قد کودکان حسابان یازدهم
تابع $f(x) = ۷\sqrt{x} + ۵۰$ قد متوسط کودکان را، به تقریب، و بر حسب سانتی‌متر تا ۶۰ ماهگی نشان می‌دهد. $x$ نشان‌دهنده تعداد ماه‌های پس از تولد است. در حالت کلی دامنه این تابع رادیکالی بازه $[۰, \infty)$ است ولی در این مثال که دامنه آن بازه $[۰, ۶۰]$ می‌باشد.
الف) جدول زیر را کامل کنید. در همین صفحه با استفاده از این جدول نمودار تقریبی $f$ را رسم کرده‌ایم.
| $x$ (ماه) | ۰ | ۱ | ۴ | ۱۰ | ۱۶ | ۲۵ | ۳۰ | ۳۶ | ۴۹ | ۶۰ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ (سانتی‌متر) | ۵۰ | $\dots$ | $\dots$ | ۷۲.۱ | $\dots$ | ۸۵ | $\dots$ | ۹۲ | $\dots$ | ۱۰۴.۲ |
ب) برد این تابع چیست؟
پ) قد یک کودک چهار ساله تقریباً چقدر است؟
ت) با استفاده از ضابطه تابع یا نمودار آن مشخص کنید که کودکی با قد ۷۵ سانتی‌متر حدوداً چند ماهه است.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ تا ۴ صفحه ۴۷ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت یک مثال زیبا از کاربرد **توابع رادیکالی** (گنگ) برای مدل‌سازی پدیده‌های طبیعی مانند رشد قد است. ضابطه تابع $\mathbf{f(x) = ۷\sqrt{x} + ۵۰}$ و دامنه واقعی آن در این مدل $\mathbf{[۰, ۶۰]}$ است.
---
### الف) تکمیل جدول
با استفاده از ضابطه $f(x) = ۷\sqrt{x} + ۵۰$، مقادیر $f(x)$ را محاسبه می‌کنیم:
* **$x = ۱$**: $f(۱) = ۷\sqrt{۱} + ۵۰ = ۷ + ۵۰ = \mathbf{۵۷}$
* **$x = ۴$**: $f(۴) = ۷\sqrt{۴} + ۵۰ = ۷(۲) + ۵۰ = ۱۴ + ۵۰ = \mathbf{۶۴}$
* **$x = ۱۶$**: $f(۱۶) = ۷\sqrt{۱۶} + ۵۰ = ۷(۴) + ۵۰ = ۲۸ + ۵۰ = \mathbf{۷۸}$
* **$x = ۳۰$**: $f(۳۰) = ۷\sqrt{۳۰} + ۵۰ \approx ۷(۵.۴۷۷) + ۵۰ \approx ۳۸.۳۴ + ۵۰ = \mathbf{۸۸.۳۴}$
* **$x = ۴۹$**: $f(۴۹) = ۷\sqrt{۴۹} + ۵۰ = ۷(۷) + ۵۰ = ۴۹ + ۵۰ = \mathbf{۹۹}$
| $x$ (ماه) | ۰ | ۱ | ۴ | ۱۰ | ۱۶ | ۲۵ | ۳۰ | ۳۶ | ۴۹ | ۶۰ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ (سانتی‌متر) | ۵۰ | $\mathbf{۵۷}$ | $\mathbf{۶۴}$ | ۷۲.۱ | $\mathbf{۷۸}$ | ۸۵ | $\mathbf{۸۸.۳}$ | ۹۲ | $\mathbf{۹۹}$ | ۱۰۴.۲ |
---
### ب) برد این تابع چیست؟
**برد ($R_f$)**، مجموعه تمام مقادیر خروجی $f(x)$ است. چون $f(x)$ یک تابع **صعودی** است (با افزایش $x$، $\sqrt{x}$ افزایش می‌یابد)، برد در مرزهای دامنه $athbf{[۰, ۶۰]}$ به دست می‌آید.
* **کمترین مقدار (در $x=۰$)**: $f(۰) = ۵۰$
* **بیشترین مقدار (در $x=۶۰$)**: $f(۶۰) \approx ۱۰۴.۲$
$$\mathbf{\text{برد تابع } R_f = [۵۰, ۱۰۴.۲]}$$
---
### پ) قد کودک چهار ساله
* **تبدیل سن**: ۴ سال برابر است با $۴ \times ۱۲ = ۴۸$ ماه.
* **محاسبه $f(۴۸)$**:
$$f(۴۸) = ۷\sqrt{۴۸} + ۵۰$$
$$f(۴۸) = ۷\sqrt{۱۶ \times ۳} + ۵۰ = ۷(۴\sqrt{۳}) + ۵۰ = ۲۸\sqrt{۳} + ۵۰$$
* **مقدار تقریبی**: $\sqrt{۳} \approx ۱.۷۳۲$
$$f(۴۸) \approx ۲۸(۱.۷۳۲) + ۵۰ \approx ۴۸.۵ + ۵۰ = \mathbf{۹۸.۵}$$
**نتیجه**: قد یک کودک چهار ساله حدوداً **۹۸.۵ سانتی‌متر** است. (این مقدار به ۹۹ سانتی‌متر محاسبه شده در $x=۴۹$ بسیار نزدیک است.)
---
### ت) تعیین سن کودک با قد ۷۵ سانتی‌متر
ما باید معادله $f(x) = ۷۵$ را حل کنیم و مقدار $x$ (سن) را پیدا کنیم:
$$۷\sqrt{x} + ۵۰ = ۷۵$$
$$۷\sqrt{x} = ۷۵ - ۵۰$$
$$۷\sqrt{x} = ۲۵$$
$$\sqrt{x} = \frac{۲۵}{۷} \approx ۳.۵۷$$
برای یافتن $x$، دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم:
$$x = \left(\frac{۲۵}{۷}\right)^۲ = \frac{۶۲۵}{۴۹} \approx \mathbf{۱۲.۷۵}$$
**نتیجه**: کودکی با قد ۷۵ سانتی‌متر حدوداً **۱۲.۷۵ ماهه** است. (تقریباً ۱۳ ماهه).
